Προβολή πηγαίου κώδικα για τη σελίδα Θεώρημα μέσης τιμής

Δεν έχετε την άδεια να τροποποιήσετε αυτή τη σελίδα, για τον ακόλουθο λόγο:

Η διεύθυνση IP σας βρίσκεται σε ένα εύρος που έχει αποκλειστεί σε όλα τα wiki του Ιδρύματος Wikimedia.

Ο αποκλεισμός έγινε από ‪JJMC89‬ . Ο λόγος που δίνεται είναι Open proxy/Webhost: See the help page if you are affected .

Έναρξη αποκλεισμού: 23:46, 19 Απριλίου 2024
Λήξη αποκλεισμού: 23:46, 19 Απριλίου 2027

Η τρέχουσα διεύθυνση IP σας είναι 18.119.126.181 . Το αποκλεισμένο εύρος είναι 18.119.0.0/16 .

Παρακαλούμε συμπεριλάβετε τις παραπάνω λεπτομέρειες σε όποια ερωτήματα κάνετε. Εάν πιστεύετε ότι έχετε αποκλειστεί κατά λάθος, μπορείτε να βρείτε πρόσθετες πληροφορίες και οδηγίες στην παγκόσμια πολιτική No open proxies παγκόσμια πολιτική.

Διαφορετικά, για να συζητήσετε τον αποκλεισμό, παρακαλούμε αναρτήστε ένα αίτημα για έλεγχο στο Meta-Wiki. ⧼wikimedia-globalblocking-blockedtext-mistake- email-steward⧽

Μπορείτε να δείτε και να αντιγράψετε τον κώδικα της σελίδας:

[[Αρχείο:Mean value theorem.png|thumb|300px|Γεωμετρική απεικόνιση του Θεωρήματος Μέσης Τιμής: για την τέμνουσα που ορίζουν τα σημεία (α, f(α)) και (β, f(β)) της καμπύλης της συνάρτησης f(x) (δεξιά κάτω μπλε ευθεία γραμμή στο γράφημα), υπάρχει τουλάχιστον ένα σημείο στο οποίο η εφαπτομένη της f(x) (αριστερή πάνω μπλε ευθεία γραμμή στο γράφημα) είναι παράλληλη προς την τέμνουσα αυτή.]]

Στα [[μαθηματικά]], το '''θεώρημα μέσης τιμής''' ('''Θ.Μ.Τ.''' στο εξής) γεωμετρικά διατυπώνεται ως εξής: δοσμένης μιας [[επίπεδο|επίπεδης]] [[καμπύλη]]ς και δυο σημείων της, υπάρχει τουλάχιστον ένα σημείο στο οποίο η εφαπτομένη της καμπύλης να  είναι παράλληλη προς την ευθεία (τέμνουσα) που ορίζουν τα παραπάνω σημεία.

Το Θ.Μ.Τ. στη σύγχρονη μορφή διατυπώθηκε από τον [[Ωγκυστέν-Λουί Κωσύ]]. Είναι ένα από τα πιο σημαντικά αποτελέσματα του [[διαφορικός λογισμός|διαφορικού λογισμού]], καθώς και ένα από τα πιο σημαντικά θεωρήματα στη [[μαθηματική ανάλυση]] αφού με τη βοήθειά του αποδεικνύονται πολλά άλλα θεωρήματα.

Το Θ.Μ.Τ. είναι συνέπεια του  [[θεώρημα Ρολ|θεωρήματος Ρολ]].

== Θεώρημα μέσης τιμής του διαφορικού λογισμού ==

{{Μαθηματικό θεώρημα|όνομα=Θ.Μ.Τ. (Μορφή Λαγκράνζ)|διατύπωση=
''Έστω μια συνάρτηση <math>f
</math> [[Συνεχής συνάρτηση|συνεχής]] στο διάστημα <math>[\alpha,\beta]</math> και [[Παραγώγιση|παραγωγίσιμη]] στο <math>(\alpha,\beta)</math> . Υπάρχει τουλάχιστον ένα <math>x_{0}\in(\alpha,\beta)</math> τέτοιο ώστε<ref>[http://ebooks.edu.gr/modules/ebook/show.php/DSGL-C105/492/3198,12986/ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ΄ Τάξης Ενιαίου Λυκείου Θετική και Κατεύθυνση Οικονομίας (Παράγραφος Β2.5)]</ref>
:<math>f'(x_{0})=\frac{f(\beta)-f(\alpha)}{\beta-\alpha}</math>.
}}
Αυτή η σχέση είναι γνωστή κι ως μορφή [[Ζοζέφ Λουί Λαγκράνζ|Λαγκράνζ]] και δηλώνει ότι για κάθε ευθεία από δύο σημεία γραφικής παράστασης σε μια παραγωγίσιμη συνάρτηση υπάρχει εφαπτομένη στην καμπύλη της συνάρτησης που να της είναι [[παράλληλες ευθείες|παράλληλη]].

Η ποσότητα <math display="inline">\lambda = \frac{f(\beta)-f(\alpha)}{\beta-\alpha}</math> παριστά την κλίση της ευθείας που ορίζουν τα σημεία <math>A(\alpha,f(\alpha))</math> και <math>B(\beta,f(\beta))</math>.

Το Θ.Μ.Τ. είναι μια γενίκευση του θεωρήματος Ρολ, το οποίο υποθέτει <math>f(\alpha)=f(\beta)</math>, έτσι ώστε το δεξί μέλος της παραπάνω σχέσης να  είναι μηδέν.<ref group="Σημείωση">Το θεώρημα όπως αναφέρεται, δεν αληθεύει, αν μια παραγωγίσιμη συνάρτηση παίρνει [[Μιγαδική ανάλυση|μιγαδικές]] τιμές.

Για παράδειγμα, αν ορίσουμε την <math>f(x) = e^{ix} </math> τότε
<math display="inline">\frac{f (2\pi) - f (0)}{ 2\pi - 0} = 0 </math> ενώ <math>f '(x) \neq 0</math>.</ref>

{{Μαθηματική απόδειξη|
Ορίζουμε την [[συνάρτηση]]
:<math>g(x)=f(x)-\frac{f(\beta)-f(\alpha)}{\beta-\alpha}\cdot (x-\alpha)</math>. 
Η συνάρτηση αυτή είναι συνεχής και παραγωγίσιμη με πρώτη παράγωγο ίση με
:<math>g'(x)=f'(x)-\frac{f(\beta)-f(\alpha)}{\beta-\alpha}</math>
και επιπλέον <math>g(\alpha)=g(\beta)</math> οπότε πληροί τις προϋποθέσεις του θεωρήματος Ρολ συνεπώς υπάρχει τουλάχιστον ένα <math>x_{0}\in(\alpha,\beta)</math> ώστε <math>g '(x_{0}) = 0</math> από όπου παίρνουμε 
:<math>f'(x_{0})-\frac{f(\beta)-f(\alpha)}{\beta-\alpha}=0 \Rightarrow f'(x_{0})=\frac{f(\beta)-f(\alpha)}{\beta-\alpha}</math>.
}}

== Εφαρμογές του Θ.Μ.Τ. ==

=== Απόδειξη ανισοτήτων ===

Το Θ.Μ.Τ. μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την απόδειξη πολλών [[ανισότητα (μαθηματικά)|ανισοτήτων]].

Για παράδειγμα θα αποδείξουμε ότι η ανισότητα <math>e^{x}\geq x+1</math> ισχύει για κάθε πραγματικό αριθμό <math>x</math>. Παρατηρήστε ότι η ανισότητα ισχύει ως ισότητα για <math>x=0</math>, ενώ για <math>x>0</math> η συνάρτηση <math>f(t)=e^t</math> ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του Θ.Μ.Τ.  στο διάστημα <math>[0,x]</math> με πρώτη παράγωγο
:<math>f'(t)=e^t \geq e^0=1</math>, για κάθε <math>t \in [0,x]</math>.
Άρα σύμφωνα με το Θ.Μ.Τ. θα υπάρχει <math>\xi \in [0,x]</math> ώστε
:<math>f'(\xi)=\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\frac{e^x-1}{x} \geq 1 \Rightarrow e^{x}\geq x+1</math>

Ομοίως για την περίπτωση όπου <math>x<0</math> .

=== Σταθερές συναρτήσεις ===

{{Μαθηματικό θεώρημα|τύπος=Πόρισμα|διατύπωση=
Έστω μία συνεχής συνάρτηση <math>f</math> σε ένα διάστημα <math>\Delta</math>. Εάν <math>f'(x)=0</math> σε κάθε  εσ��τερικό σημείο του διαστήματος <math>\Delta</math>, τότε η <math>f
</math> είναι [[σταθερή συνάρτηση]] στο <math>\Delta</math>.<ref>[http://ebooks.edu.gr/modules/ebook/show.php/DSGL-C105/492/3198,12987/ Σχολικό Βιβλίο]</ref>}}

{{Μαθηματική απόδειξη|Αρκεί να αποδείξουμε ότι για οποιαδήποτε   <math>x_{1},x_{2}\in \Delta</math> ισχύει <math>f(x_{1})=f(x_{2})</math>.

Πράγματι
* Αν <math>x_{1}=x_{2}</math><sub> </sub>, τότε προφανώς <math>f(x_{1})=f(x_{2})</math>.
* Αν  <math>x_{1} < x_{2}</math> τότε στο διάστημα <math>[x_{1},x_{2}]</math>  η  <math>f
</math>   ικανοποιεί τις υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. Επομένως, υπάρχει  <math>\xi \in (x_{1},x_{2})</math> τέτοιο, ώστε
::<math>f'(\xi)=\frac{ f(x_{2})-f(x_{1})}{x_{2}-x_{1}} </math>. (1)
:Επειδή το <math>\xi</math> είναι εσωτερικό σημείο του <math>\Delta</math>, ισχύει <math>f'(\xi)=0</math>, οπότε, λόγω της (1), είναι  <math>f(x_{1})=f(x_{2})</math>.

* Αν <math>x_{1} > x_{1}</math> τότε ομοίως αποδεικνύεται ότι <math>f(x_{1})=f(x_{2})</math>. 

Σε όλες, λοιπόν, τις περιπτώσεις είναι  <math>f(x_{1})=f(x_{2})</math>.
}}

====Παράδειγμα====
Με την χρήση του Θ.Μ.Τ. θα αποδείξουμε ότι <math>(\eta\mu x)^2+( \sigma\upsilon\nu x)^2=1</math>. 

Ορίζουμε την συνάρτηση 
:<math>f(x)= (\eta\mu x)^2+( \sigma\upsilon\nu x)^2</math> ,
η οποία είναι παραγωγίσιμη και ισχύει  <math>f'(x)=2 \cdot (\eta\mu x) \cdot  ( \sigma\upsilon\nu x)-2( \sigma\upsilon\nu x) \cdot (\eta\mu x)=0</math> άρα η '''''<math>f
</math>''' είναι σταθερή'''.''''' 

Δηλαδή <math>f(x)=c</math> για κάθε <math>x\in \mathbb{R}</math>. Η τιμή της σταθερά βρίκεται θέτοντας <math>x=0</math> οπότε <math>c = f (0) = 1 </math> δηλαδή  
:<math>f(x)=1 \Rightarrow (\eta\mu x)^2+( \sigma\upsilon\nu x)^2=1</math> για κάθε <math>x\in \mathbb{R}</math>.  

== Θεώρημα μέσης τιμής του Κωσύ ==

Το Θεώρημα μέσης τιμής του Κωσύ, γνωστό και ως επεκτεταμένο θεώρημα μέσης αποτελεί μια γενίκευση του Θ.Μ.Τ. και αναφέρει το  εξής:            
{{Μαθηματικό θεώρημα|τίτλος=Θ.Μ.Τ. (Μορφύ Κωσύ)|διατύπωση=Εάν οι συναρτήσεις <math>f</math> και <math>g</math> είναι  συνεχείς στο κλειστό διάστημα  <math>[\alpha,\beta]</math> και παραγωγίσιμες στο ανοικτό διάστημα <math>(\alpha,\beta)</math>  , τότε υπάρχει κάποιo <math>c\in(\alpha,\beta)</math> , τέτοιο ώστε 
:<math>\frac{f'(c)}{g'(c)}=\frac{f(\beta)-f(\alpha)}{g(\beta)-g(\alpha)}\cdot</math> 
εφόσον βέβαια ισχύουνε οι περιορισμοί <math>g(\alpha) \neq g(\beta)</math> και <math>g'(x) \neq 0</math>.        
}}
Σε περίπτωση που <math>g(a) = g(b)</math>, τότε εφαρμόζοντας το θεώρημα Ρολ στην <math>g</math>, προκύπτει ότι υπάρχει <math>c
</math> στο διάστημα <math>(a,b)</math> για το οποίο ισχύει <math>g(c)=0</math> . Για αυτή την επιλογή του <math>c</math> το θεώρημα μέσης τιμής του Κωσύ (προφανώς) ισχύει.
{{Μαθηματική απόδειξη|
Η απόδειξη του θεωρήματος μέσης τιμής του Κωσύ βασίζεται στην ίδια ιδέα με την απόδειξη του θεωρήματος μέσης τιμής.

Ας υποθέσουμε ότι η <math>g(a) \neq  g(b)</math>. Ορίζουμε 
:<math>h(x) = f(x) - rg(x)</math>, 
όπου το <math>r</math> το διαλέγουμε με τέτοιο τρόπο ώστε <math>h (a) = h (b)</math>. Δηλαδή, 
:<math>
\begin{align}
h(a)=h(b) 
 & \Longleftrightarrow f(a)-r  g(a)=f(b)-rg(b) \\
 & \Longleftrightarrow r(g(b)-g(a))=f(b)-f(a) \\
 & \Longleftrightarrow r=\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}
\end{align}</math> 

Δεδομένου ότι <math>f</math> και <math>g</math> είναι συνεχείς στο <math>[a, b]</math> και παραγωγίσιμες στο <math>(a, b)</math>, το ίδιο ισχύει και για την <math>h</math>. Συνολικά, η <math>h</math> πληροί τις προϋποθέσεις του [[θεώρημα Ρολ|θεωρήματος του Ρολ]] κατά συνέπεια, υπάρχει κάποια <math>c</math> στο <math>(a, b) </math> τέτοιο ώστε <math>h'(c) = 0</math>.

Από την ισότητα <math>h (x) = f (x) - rg (x)</math> προκύπτει ότι
:<math>
\begin{align}
  h'(c)=0 
    & \Longleftrightarrow f'(c)-r\, g'(c)=0 \\ 
    & \Longleftrightarrow\,f'(c)=\,r\,g'(c) \\
    & \Longleftrightarrow \frac{f'(c)}{g'(c)}=r \\
    & \Longleftrightarrow\frac{f'(c)}{g'(c)}=\frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)}.
\end{align}</math>
}}
== Θεωρήματα μέσης τιμής του ολοκληρωτικού λογισμού ==

=== Πρώτο θεώρημα μέσης τιμής για ολοκληρώματα (Θ.Μ.Τ.Ο.Λ.) ===
[[File:Mean value theorem in integral calculus.png|thumb|Γεωμετρική αναπαράσταση του θεωρήματος μέσης τιμής ολοκληρωτικού λογισμού]]
{{Μαθηματικό θεώρημα|διατύπωση=Αν η συνάρτηση <math>f</math> : <math>[\alpha,\beta]</math> → <math>\mathbb{R}</math>  είναι συνεχής και διατηρεί ''σταθερό πρόσημο'' στο διάστημα (a, b), τότε <math>\exists \ x_{0} \in (\alpha,\beta)</math>  ώστε
:<math>\int_{\alpha}^{\beta} f(t)\varphi (t) \, dt=f( x_{0}) \cdot \int_{\alpha}^{\beta} \varphi (t) \, dt.</math>}}

Σημειώσεις:
* Ειδικότερα, αν <math>\varphi (t) = 1</math>  για όλα τα <math>t</math> στο  <math>[\alpha,\beta]</math>, τότε υπάρχει <math> x_{0}</math> στο <math>(\alpha,\beta)</math> τέτοιo ώστε
::<math>\int_{\alpha}^{\beta}  f(t) \, dt=\ f( x_{0})(\beta - \alpha)</math>. (2)
* Η σχεσή αυτή συναντάται κυρίως με την μορφή
::<math>\frac{1}{\beta - \alpha} \int_{\alpha}^{\beta} f(t) \, dt=\ f( x_{0}).</math>
* Ο αριθμός  <math display="inline">\frac{1}{\beta - \alpha}\int_{\alpha}^{\beta} f(t)  dt</math> ονομάζεται μέση τιμή της συνάρτησης ''<math>f</math> στο ''<math>[\alpha,\beta]</math> και συμβολίζεται ως <math> \bar{f}</math>.

'''Σχόλιο :  '''Γεωμετρικά, η μέση τιμή <math> \bar{f}</math>  ''μιας μη αρνητικής'' συνάρτησης  ''<math>f</math> ''στο διάστημα  <math>[\alpha,\beta]</math> παριστάνει το ύψος του [[Ορθογώνιο παραλληλόγραμμο|ορθογωνίου]] που έχει βάση το  <math>[\alpha,\beta]</math> και [[εμβαδόν]] ίσο με το εμβαδόν του χωρίου <strong>Ω </strong>που περικλείεται από τη [[Γραφική παράσταση συνάρτησης|γραφική παράσταση]] της f, τον άξονα xʹx και τις ευθείες <math>x=\alpha</math> και  <math>x=\beta</math>

{{Μαθηματική απόδειξη|
Χωρίς βλάβη της γενικότητας θεωρούμε ότι <math>f(t) \geq 0</math>. Επειδή η <math>f</math> είναι συνεχής σε κλειστό διάστημα  το θεώρημα [[Συνέχεια συνάρτησης#.CE.98.CE.B5.CF.8E.CF.81.CE.B7.CE.BC.CE.B1 .CE.BC.CE.AD.CE.B3.CE.B9.CF.83.CF.84.CE.B7.CF.82 .CE.BA.CE.B1.CE.B9 .CE.B5.CE.BB.CE.AC.CF.87.CE.B9.CF.83.CF.84.CE.B7.CF.82 .CF.84.CE.B9.CE.BC.CE.AE.CF.82|μεγίστης ελαχίστης]] τιμής μας εξασφαλίζει την ύπαρξη <math>m</math> και <math>M</math> ώστε <math>m\leq   f (t) \leq M</math>. Οπότε  
:<math>m \cdot  I   = \int_{\alpha}^{\beta}  m \cdot \varphi (t) \, dt  \leq \int_{\alpha}^{\beta}  f(t) \cdot \varphi (t) \, dt\leq  \int_{\alpha}^{\beta}  M \cdot \varphi (t) \, dt  =  M \cdot  I</math>, (3)
όπου 
:<math>I:=\int^b_a\varphi(t) \, dt</math>. 
Οπότε αν <math>I = 0</math>, η ισότητα (2) είναι αληθής αλλιώς τη σχέση (3) την  διαιρούμε με Ι και προκύπτει ότι
:<math>m   \leq \frac{1}{I}  \int_{\alpha}^{\beta}  f(t) \cdot \varphi (t)  \, dt\leq   M </math>,
ώστε πάλι με τη χρήση του θεώρηματος '''μεγίστης ελαχίστης''' τιμής προκύπτει ότι υπάρχει <math>x_{0} \in (\alpha,\beta)</math> με 
:<math>f(x_{0})=\frac{1}{I}  \int_{\alpha}^{\beta}  f(t) \cdot \varphi (t)  \, dt</math>.
}}

=== Δεύτερο θεώρημα μέσης τιμής για ολοκληρώματα ===
Υπάρχει ένα ελαφρώς διαφορετικό θεώρημα που ονομάζεται ''δεύτερο θεώρημα μέσης τιμής για ολοκληρώματα''. Μια πιο διαδεδομένη μορφή του θεωρήματος είναι η παρακάτω:

{{Μαθηματικό θεώρημα|Έστω <math>G: [a, b] 
 </math> → <math>\mathbb{R}</math> είναι μια θετική, φθίνουσα συνάρτηση και <math>\phi : [a,b]</math> → <math>\mathbb{R
}</math>  είναι μια ολοκληρώσιμη συνάρτηση, τότε υπάρχει ένας αριθμός <math>x</math> στο <math>(a, b]</math> τέτοιος ώστε
::<math> \int_a^b G(t)\varphi(t)\,dt = G(a+0) \int_a^x \varphi(t)\,dt. </math>
}}
Το  <math>G(a+0)</math> αναπαριστά το <math>{\underset{a_+}{\lim}G}</math> η ύπαρξη του οποίου απορρέει από τις συνθήκες. Είναι απαραίτητο το διάστημα <math>(a, b]</math> να περιέχει το <math>b</math>.

Μία παραλλαγή στην οποία δεν απαιτείται ο συγκεκριμένος περιορισμός είναι η εξής:

{{Μαθηματικό θεώρημα|Έστω <math>G: [a, b] 
 </math> → <math>\mathbb{R}</math> είναι μονότονη (όχι απαραίτητα φθίνουσα και θετική) συνάρτηση και <math>\phi : [a,b]</math> → <math>\mathbb{R
}</math>  είναι μια ολοκληρώσιμη συνάρτηση,  τότε υπάρχει ένας αριθμός <math>x</math> στο <math>(a, b)</math> τέτοιος ώστε

::<math> \int_a^b G(t)\varphi(t)\,dt = G(a+0) \int_a^x \varphi(t)\,dt + G(b-0) \int_x^b \varphi(t)\,dt. </math>
}}
Αυτή η παραλλαγή αποδείχθηκε από τον [[Hiroshi Okamura]] το 1947.
== Γενίκευση για ορίζουσες ==
Θεωρούμε τρεις συναρτήσεις <math>f, g</math> και <math>h</math> οι οποίες ειναι παραγγωγίσιμες στο διάστημα  ''<math>(a,b)</math>''   και συνεχείς στο  <math>[a,b]</math>.

Ορίζουμε την συνάρτηση 
:<math>D(x)=\left|\begin{array}{ccc}
f(x) &  g(x) &  h(x)\\
f(a) &  g(a) &   h(a)\\
f(b) & g(b) & h(b) \\

\end{array} \right|</math>,
τότε υπάρχει <math>c \in (a,b)</math> ώστε <math>D'(c)=0</math> όπου 
:<math>D(x)=\left|\begin{array}{lll}
f'(x) &  g'(x) & h'(x)\\
f(a) &  g(a) &  h(a)\\
f(b) & g(b) & h(b) \\

\end{array} \right|</math>.

Η απόδειξη προκύπτει με την χρήση του θεωρήματος Ρολ αρκεί να παρατηρήσουμε ότι<math> D(a)=D(b)=0</math> καθώς σε κάθε περίπτωση η ορίζουσα έχει δυο γραμμές ίσες.

'''Παρατήρηση :''' Αν θέσουμε <math>h(x)=1</math> προκύπτει το Θ.Μ.Τ. με την μορφή Κωσύ ενώ αν θέσουμε επιπλέον και <math>g(x)=x</math> προκύπτει η μορφή [[Ζοζέφ Λουί Λαγκράνζ|Λαγκράνζ]].

== Πιθανολογικό ανάλογο ==
Έστω <math>X</math> και <math>Y</math> είναι μη-αρνητικές [[τυχαία μεταβλητή|τυχαίες μεταβλητές]] τέτοιες ώστε <math>E [X]</math> <<math>E [Y]</math> ''<math>\leq \infty</math>'' και <math>X \leq_ {st} Y</math> (δηλαδή η Χ είναι μικρότερη από τη Υ με τη συνηθισμένη στοχαστική σειρά). Τότε υπάρχει μια συνεχής μη-αρνητική τυχαία μεταβλητή <math>Z</math> με [[συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας]]
:<math>f_{Z}(x)=\frac{P(Y \geq x)-P(X\geq x)}{E[Y]-E[X]}, \qquad x\geq 0</math>.

Έστω ''g'' μια μετρήσιμη και παραγωγίσιμη συνάρτηση ώστε <math>E[g(X)], E[g(Y)] \leq \infty</math> , με πρώτη παράγωγο μετρήσιμη και  [[Μπέρναρντ Ρίμαν|Riemann]] ολοκληρώσιμη στο διάστημα <math>[x,y]</math> για  <math>y \geq x  \geq 0</math>. Τότε η ποσότητα <math>E[g'(Z)]</math>  είναι πεπερασμένη και ισχύει <math>{\rm E}[g(Y)]-{\rm E}[g(X)]={\rm E}[g'(Z)]\,[{\rm E}(Y)-{\rm E}(X)]</math>

== Γενίκευση στη μιγαδική ανάλυση ==
Όπως αναφέρθηκε και παραπάνω το Θ.Μ.Τ. δεν ισχύει στην περίπτωση συνάρτησης με μιγαδικές τιμές. Ισχύει όμως η εξής πρόταση :

Έστω ''f'' :  <math>\Omega</math> → <math>\mathbb{C}</math>  μια ολόμορφη συνάρτηση στο ανοικτό και κυρτό σύνολο  Ω, και έστω L  η ευθεία που διέρχεται απο δυο διακεκριμένα σημεία  a και  b του <math>\Omega</math>. Τότε υπάρχουνε σημεία ''u'', ''v'' στην ευθεία ώστε

:<math>\Re(f'(u)) = \mathrm{Re}\left( \frac{f(b)-f(a)}{b-a} \right)</math>,
:<math>\Im (f'(v)) = \mathrm{Im}\left( \frac{f(b)-f(a)}{b-a} \right)</math>,

όπου <math>\Re</math>  είναι το πραγματικό μέρος της συνάρτησης και <math>\Im</math> το φανταστικό της μέρος.

== Δείτε επίσης ==
* [[Μισέλ Ρολ|Θεώρημα Ρολ]]
* [[Μαθηματική ανάλυση|Μαθηματική Ανάλυση]]
* [[Ολοκλήρωμα]]

== Περαιτέρω ανάγνωση ==

=== Αναφορές ===
* {{cite web |url=http://fourier.math.uoc.gr/~papadim/calculus1.pdf |author=Μιχάλης Παπαδημητράκης |title=Σημειώσεις Απειροστικού Λογισμού |pages=195 |accessdate=15 Οκτωβρίου 2023}} 
* {{cite book |last=Ντου��ιας |first=Σωτήρης Κ. |title=Απειροστικός Λογισμός Ι |pages=331 |publisher=Leader Books |isbn=9607901444 }}
* {{cite book |author=Spivak, Michael |title=Διαφορικός και ολοκληρωτικός λογισμός |ISBN=978-960-524-302-9  |publisher=Πανεπιστημιακές εκδόσεις Κρήτης }}

=== Εξωτερικοί σύνδεσμοι ===
* {{youtube|qLPbj4bzCiQ|Επεξηγηματικό βίντεο για το Θεώρημα Μέσης Τιμής}}

=== Ελληνικά άρθρα ===
* {{cite journal |last1=Γιαννακόπουλος |first1=Σπύρος |title=Αξιοσημείωτα υπαρξιακά θεωρήματα Θεωρήματα: Bolzano - Rolle - Μέσης τιμής |journal=[[Ευκλείδης Β΄]] |year=2021 |month=Ιανουαρίου |issue=119 |pages=46-53 |url=https://hms.gr/wp-content/uploads/2024/12/EYKLEIDHS_B_119_EYKLEIDHS_2021.pdf }}

== Σημειώσεις ==
<references group="Σημείωση" />

== Παραπομπές ==
<references />
{{Authority control}}


[[��ατηγορία:Θεωρήματα στην ανάλυση]]

Πρότυπα που χρησιμοποιούνται σε αυτή την σελίδα:

Πρότυπο:Authority control (προβολή κώδικα) (πλήρως προστατευμένη)
Πρότυπο:Citation/core (επεξεργασία)
Πρότυπο:Citation/make link (επεξεργασία)
Πρότυπο:Cite book (προβολή κώδικα) (ημιπροστατευμένη)
Πρότυπο:Cite journal (προβολή κώδικα) (ημιπροστατευμένη)
Πρότυπο:Cite web (προβολή κώδικα) (ημιπροστατευμένη)
Πρότυπο:Hlist/styles.css (επεξεργασία)
Πρότυπο:If (επεξεργασία)
Πρότυπο:P1 (επεξεργασία)
Πρότυπο:P2 (επεξεργασία)
Πρότυπο:YouTube (επεξεργασία)
Πρότυπο:Youtube (επεξεργασία)
Πρότυπο:Μαθηματική απόδειξη (επεξεργασία)
Πρότυπο:Μαθηματική απόδειξη/styles.css (επεξεργασία)
Πρότυπο:Μαθηματικό θεώρημα (επεξεργασία)
Πρότυπο:Μαθηματικό θεώρημα/styles.css (επεξεργασία)
Module:Authority control (προβολή κώδικα) (πλήρως προστατευμένη)
Module:Citation/CS1 (προβολή κώδικα) (πλήρως προστατευμένη)
Module:Citation/CS1/COinS (επεξεργασία)
Module:Citation/CS1/Configuration (επεξεργασία)
Module:Citation/CS1/Date validation (επεξεργασία)
Module:Citation/CS1/Identifiers (επεξεργασία)
Module:Citation/CS1/Utilities (επεξεργασία)
Module:Citation/CS1/Whitelist (επεξεργασία)
Module:Citation/CS1/styles.css (επεξεργασία)
Module:Navbox (επεξεργασία)
Module:Navbox/configuration (επεξεργασία)
Module:Navbox/styles.css (προβολή κώδικα) (πλήρως προστατευμένη)
Module:TableTools (επεξεργασία)

Επιστροφή στη σελίδα Θεώρημα μέσης τιμής.

Ανακτήθηκε από "https://el.wikipedia.org/wiki/Θεώρημα_μέσης_τιμής"