Autosimilitud

En matemàtiques, un objecte autosimilar és exactament o aproximadament similar a una part de si mateix (és a dir, el tot té la mateixa forma que una o més de les parts). Molts objectes del món real, com ara les costes, són estadísticament autosimilars: parts d'ells mostren les mateixes propietats estadístiques a moltes escales.^[1] L'autosemblança és una propietat típica dels fractals. La invariància d'escala és una forma exacta d'autosemblança on a qualsevol augment hi ha una part més petita de l'objecte que és similar al tot. Per exemple, un costat del floc de neu de Koch és simètric i invariant a l'escala; es pot ampliar contínuament 3 vegades sense canviar de forma.^[2]

Peitgen et al. expliquen el concepte així:

Si les parts d'una figura són petites rèpliques del tot, aleshores la figura s'anomena autosimilar... Una figura és estrictament autosimilar si la figura es pot descompondre en parts que siguin rèpliques exactes del tot. Qualsevol part arbitrària conté una rèplica exacta de la figura sencera.^[3]

Com que matemàticament, un fractal pot mostrar autosemblança sota un augment arbitrari, és impossible recrear-ho físicament. Peitgen et al. suggereixen estudiar l'autosemblança mitjançant aproximacions:

Per tal de donar un significat operatiu a la propietat d'autosemblança, ens restringim necessàriament a tractar amb aproximacions finites de la figura límit. Això es fa mitjançant el mètode que anomenarem autosemblança de caixa, on les mesures es fan en etapes finites de la figura utilitzant quadrícules de diverses mides.

Aquest vocabulari va ser introduït per Benoit Mandelbrot el 1964.^[4]

En matemàtiques, l'autoafinitat és una característica d'un fractal les peces del qual s'escalen en quantitats diferents en les direccions x i y. Això significa que per apreciar l'autosemblança d'aquests objectes fractals, s'han de reescala mitjançant una transformació afí anisotròpica.

Un espai topològic compacte X és autosimilar si existeix un conjunt finit S que indexa un conjunt d' homeomorfismes no surjectius ${\displaystyle \{f_{s}:s\in S\}}$ per a la qual ^[5]

${\displaystyle X=\bigcup _{s\in S}f_{s}(X)}$

Si ${\displaystyle X\subset Y}$, anomenem X autosimilar si és l'únic subconjunt no buit d'Y tal que l'equació anterior es compleix per a ${\displaystyle \{f_{s}:s\in S\}}$ Fem una crida.

${\displaystyle {\mathfrak {L}}=(X,S,\{f_{s}:s\in S\})}$

una estructura autosimilar . Els homeomorfismes es poden iterats, donant lloc a un sistema de funcions iterades. La composició de funcions crea l'estructura algebraica d'un monoide. Quan el conjunt S només té dos elements, el monoide es coneix com a monoide diàdic. El monoide diàdic es pot visualitzar com un arbre binari infinit; més generalment, si el conjunt S té p elements, aleshores el monoide es pot representar com un arbre p-àdic.

Els automorfismes del monoide diàdic són el grup modular; els automorfismes es poden representar com a rotacions hiperbòliques de l'arbre binari.

Una noció més general que l'autosemblança és l'autoafinitat.

El discontinu de Cantor és autosimilar, ja que qualsevol dels seus subconjunts tancats és una imatge contínua del discontinu.

El conjunt de Mandelbrot també és autosimilar al voltant dels punts de Misiurewicz.

L'autosemblança té conseqüències importants per al disseny de xarxes informàtiques, ja que el trànsit de xarxa típic té propietats autosemblants. Per exemple, en l'enginyeria de teletrànsit, els patrons de trànsit de dades per commutació de paquets semblen ser estadísticament autosemblants. Aquesta propietat significa que els models simples que utilitzen una distribució de Poisson són inexactes, i les xarxes dissenyades sense tenir en compte l'autosemblança probablement funcionaran de maneres inesperades.

De la mateixa manera, els moviments del mercat de valors es descriuen com a mostradors d'autoafinitat, és a dir, semblen autosimilars quan es transformen mitjançant una transformació afí adequada per al nivell de detall que es mostra. Andrew Lo descriu l'autosimilitud del rendiment logarítmic del mercat de valors en econometria. Les regles de subdivisió finita són una tècnica potent per construir conjunts autosimilars, com ara el conjunt de Cantor i el triangle de Sierpinski.

Algunes corbes d'ompliment de l'espai, com ara la corba de Peano i la corba de Moore, també presenten propietats d'autosemblança.

Algunes corbes d'ompliment de l'espai, com ara la corba de Peano i la corba de Moore, també presenten propietats d'autosemblança.

A la natura

[modifica]

L'autosemblança també es pot trobar a la natura. Plantes com el bròquil romanesco presenten una forta autosemblança.