Conjetura de Hall

En matemáticas, la conjetura de Hall es una pregunta abierta, a partir de 2015, sobre las diferencias entre cuadrados perfectos y cubos perfectos. Afirma que un cuadrado perfecto y² y un cubo perfecto x³ que no son iguales deben estar a una distancia sustancial entre sí. Esta pregunta surgió al considerar la ecuación de Mordell en la teoría de puntos enteros en curvas elípticas.

La versión original de la conjetura de Hall, formulada por Marshall Hall, Jr. en 1970, dice que existe una constante positiva C tal que para cualquier par de números enteros x e y para los que y² ≠ x³, se cumple que

${\displaystyle |y^{2}-x^{3}|>C{\sqrt {|x|}}.}$

Hall sugirió que quizás C podría tomarse como 1/5, lo que era consistente con todos los datos conocidos en el momento en que se propuso la conjetura. Danilov demostró en 1982 que el exponente 1/2 en el lado derecho (es decir, el uso de |x|^1/2) no puede ser reemplazado por ninguna potencia mayor: para ningún δ>0 existe una constante C tal que |y² - x³| > C|x|^{1/2 + δ} siempre que y² ≠ x³.

En 1965, Davenport demostró un análogo de la conjetura anterior en el caso de los polinomios: si f (t) y g (t) son polinomios distintos de cero sobre C, de modo que g(t)³ ≠ f(t)² en C[t], entonces

${\displaystyle \deg(g(t)^{2}-f(t)^{3})\geq {\frac {1}{2}}\deg f(t)+1.}$

La forma débil de la conjetura de Hall, enunciada por Stark y Trotter alrededor de 1980, reemplaza la raíz cuadrada en el lado derecho de la desigualdad por cualquier exponente menor que 1/2: para cualquier ε > 0, hay una constante c(ε) dependiendo de ε tal que para cualquier par de números enteros x e y para los que y² ≠ x³,

${\displaystyle |y^{2}-x^{3}|>c(\varepsilon )x^{1/2-\varepsilon }.}$

La forma original, fuerte, de la conjetura con exponente 1/2 nunca ha sido refutada, aunque ya no se piensa que sea cierta y el término conjetura de Hall ahora generalmente significa la versión con la ε en ella. Por ejemplo, en 1998, Noam Elkies encontró el ejemplo

447884928428402042307918² - 5853886516781223³ = -1641843,

para el que la compatibilidad con la conjetura de Hall requeriría que C sea menor que .0214 ≈ 1/50, aproximadamente 10 veces más pequeño que la elección original de 1/5 que sugirió Hall.

La forma débil de la conjetura de Hall se seguiría de la conjetura ABC.^[1] Una generalización a otras potencias perfectas es la conjetura de Pillai.

La siguiente tabla muestra los casos conocidos con ${\displaystyle r={\sqrt {x}}/|y^{2}-x^{3}|>1}$. Téngase en cuenta que y se puede calcular como el número entero más cercano a x^3/2.

• Guy, Richard K. (2004). Unsolved problems in number theory (3rd edición). Springer-Verlag. D9. ISBN 978-0-387-20860-2. Zbl 1058.11001. 
• Hall, Jr., Marshall (1971). «The Diophantine equation x³ - y² = k». En Atkin, A.O.L.; Birch, B. J., eds. Computers in Number Theory. pp. 173–198. ISBN 0-12-065750-3. Zbl 0225.10012. 
• Elkies, N.D. "Rational points near curves and small nonzero | 'x³ - y²'| via lattice reduction", http://arxiv.org/abs/math/0005139
• Danilov, L.V., "The Diophantine equation   'x³   -  y² '  ' =  k  ' and Hall's conjecture", 'Math. Notes Acad. Sci. USSR' 32(1982), 617-618.
• Gebel, J., Pethö, A., and Zimmer, H.G.: "On Mordell's equation", 'Compositio Math.' 110(1998), 335-367.
• I. Jiménez Calvo, J. Herranz and G. Sáez Moreno, "A new algorithm to search for small nonzero |'x3 - y2'| values", 'Math. Comp.' 78 (2009), pp. 2435-2444.
• S. Aanderaa, L. Kristiansen and H. K. Ruud, "Search for good examples of Hall's conjecture", 'Math. Comp.' 87 (2018), 2903-2914.

• Página del problema por Noam Elkies