Tekst źródłowy strony Iloczyn Eulera

Nie masz uprawnień do edytowania tej strony z następującego powodu:

Twój adres IP znajduje się w zakresie adresów, który został zablokowany na wszystkich wiki Wikimedia Foundation.

Blokada została nałożona przez ‪JJMC89‬. Podany powód to Open proxy/Webhost: See the help page if you are affected: .

Początek blokady: 00:28, 20 kwi 2024
Zakończenie blokady: 00:28, 20 cze 2026

Twój obecny adres IP to 3.129.67.10. Zablokowany zakres to 3.129.0.0/16.

Prosimy o uwzględnienie wszystkich powyższych informacji we wszelkich zapytaniach (wklej te informacje w mailu lub w formularzu).

Jeśli uważasz, że zostałeś zablokowany(-a) przez pomyłkę, możesz znaleźć dodatkowe informacje i instrukcje w Pomocniku dotyczącym blokad globalnych.

Tekst źródłowy strony można podejrzeć i skopiować.

'''Iloczyn Eulera''', '''produkt Eulera''' (ang. Euler product) – sposób przedstawienia [[Szereg (matematyka)|szeregu liczbowego]] w postaci [[Iloczyn nieskończony|nieskończonego iloczynu]] po [[Liczby pierwsze|liczbach pierwszych]]. W [[Analityczna teoria liczb|analitycznej teorii liczb]] jest to często wykorzystywana postać szeregu w dowodach różnych twierdzeń. Swoją nazwę bierze od [[Leonhard Euler|Leonharda Eulera]], który po raz pierwszy przedstawił go dla [[Funkcja dzeta Riemanna|funkcji zeta Riemanna]]<ref name=":0">{{Cytuj |autor = Hugh L. Montgomery, Robert C. Vaughan |tytuł = Multiplicative Number Theory I |data = 2006-11-16 |data dostępu = 2023-12-13 |isbn = 978-0-521-84903-6 |wydawca = Cambridge University Press |s = 22 |doi = 10.1017/cbo9780511618314 |język = en}}</ref>.

== Definicja ==
Niech <math>f</math> będzie [[Funkcja ograniczona|ograniczoną]] [[Funkcja multiplikatywna|multiplikatywną]] [[Funkcja arytmetyczna|funkcją arytmetyczną]]. Wówczas szereg Dirichleta
: <math>\sum_{n=1}^\infty \frac{f(n)}{n^s}</math>

jest dla wszystkich <math>s</math> takich, że <math>\Re(s) > 1</math> równy
: <math>\prod_p\left( 1 + \frac{f(p)}{p^s} + \frac{f(p^2)}{p^{2s}} + \ldots \right) = \prod_p\sum_{k=0}^\infty\frac{f(p^k)}{p^{ks}},</math>

gdzie <math display="inline">\prod_p</math> oznacza iloczyn po wszystkich liczbach pierwszych. Ponadto, jeśli <math>f</math> jest [[Funkcja multiplikatywna|całkowicie multiplikatywna]], to występujące w iloczynie szeregi są [[Szereg geometryczny|geometryczne]], a cały iloczyn ten jest równy
: <math>\prod_p\left( 1 - \frac{f(p)}{p^s} \right)^{-1}.</math>

== Przykłady ==
=== Funkcja zeta Riemanna ===
Niech <math>\zeta</math> będzie [[Funkcja dzeta Riemanna|funkcją zeta Riemanna]], zdefiniowaną jako
: <math>\zeta(s) = \sum_{k=1}^\infty\frac{1}{n^s}</math>

dla dowolnej [[liczby zespolone]]j <math>s,</math> przy <math>\Re(s) > 1.</math> Wówczas<ref name=":0" />
: <math>\zeta(s) = \prod_p \left(1 - \frac{1}{p^s}\right)^{-1}.</math>

Z funkcją <math>\zeta</math> związanych jest więcej iloczynów Eulera, które wykorzystywane są w dowodach twierdzeń korzystających z jej własności.
: <math>\frac{\zeta(2s)}{\zeta(s)} = \prod_p\left(1 + \frac{1}{p^s}\right)^{-1}
= \sum_{n=1}^\infty \frac{\lambda(n)}{n^s},</math>

gdzie <math>\lambda</math> jest [[Funkcja Liouville’a|funkcją Liouville’a]].
: <math>\zeta(s) = \prod_p \left(1 - \frac{1}{p^s}\right) = \sum_{n=1}^\infty \frac{\mu(n)}{n^s}</math>

oraz
: <math>\frac{\zeta(s)}{\zeta(2s)} = \prod_p \left(1 + \frac{1}{p^s}\right)
= \sum_{n=1}^\infty \frac{|\mu(n)|}{n^s},</math>

gdzie <math>\mu</math> to [[funkcja Möbiusa]].

=== Funkcje L Dirichleta ===
Funkcja zeta jest szczególnym przypadkiem o wiele szerszej klasy [[Funkcja L Dirichleta|funkcji L Dirichleta]]. Niech
: <math>L(s,\chi) = \sum_{n=1}^\infty \frac{\chi(n)}{n^s},</math>

gdzie <math>\chi</math> jest ustalonym [[Charakter Dirichleta|charakterem Dirichleta]] przy danym module <math>q,</math> a <math>s</math> jest dowolną liczbą zespoloną z <math>\Re(s) > 1.</math> Wtedy<ref>{{Cytuj |autor = Hugh L. Montgomery, Robert C. Vaughan |tytuł = Multiplicative Number Theory I |data = 2006-11-16 |data dostępu = 2023-12-17 |isbn = 978-0-521-84903-6 |wydawca = Cambridge University Press |s = 120 |doi = 10.1017/cbo9780511618314 |język = en}}</ref>
: <math>L(s,\chi) = \prod_p \left(1 - \frac{\chi(p)}{p^s}\right)^{-1}.</math>

== Przypisy ==
{{Przypisy}}

{{Szeregi (matematyka)}}

{{Kontrola autorytatywna}}

[[Kategoria:Analityczna teoria liczb]]
[[Kategoria:Twierdzenia o szeregach]]
[[Kategoria:Analiza zespolona]]

Strony dołączone w tym artykule:

Szablon:Cytuj (tekst źródłowy) (zabezpieczony na poziomie wysokim)
Szablon:Kontrola autorytatywna (tekst źródłowy) (zabezpieczony na poziomie wysokim)
Szablon:Kontrola autorytatywna/style.css (tekst źródłowy) (zabezpieczony na poziomie wysokim)
Szablon:Link-interwiki (edytuj)
Szablon:Navbox/styles.css (tekst źródłowy) (zabezpieczony na poziomie wysokim)
Szablon:Przypisy (tekst źródłowy) (zabezpieczony na poziomie wysokim)
Szablon:Szablon nawigacyjny (tekst źródłowy) (zabezpieczony na poziomie wysokim)
Szablon:Szeregi (matematyka) (edytuj)
Szablon:Trim (edytuj)
Moduł:Cytuj (tekst źródłowy) (średni poziom zabezpieczenia)
Moduł:Cytuj/dane (tekst źródłowy) (średni poziom zabezpieczenia)
Moduł:Cytuj/dostęp (tekst źródłowy) (średni poziom zabezpieczenia)
Moduł:Cytuj/firewall (tekst źródłowy) (średni poziom zabezpieczenia)
Moduł:ISBN (edytuj)
Moduł:Kontrola autorytatywna (tekst źródłowy) (średni poziom zabezpieczenia)
Moduł:Lang (tekst źródłowy) (zabezpieczony na poziomie wysokim)
Moduł:Lang/data (tekst źródłowy) (średni poziom zabezpieczenia)
Moduł:Navbox (edytuj)
Moduł:Navbox/printer/default (edytuj)
Moduł:Navbox/res (edytuj)
Moduł:Sprawdź (tekst źródłowy) (średni poziom zabezpieczenia)
Moduł:String (edytuj)
Moduł:Wikidane (edytuj)
Moduł:Wikidane/data (edytuj)

Wróć do Iloczyn Eulera.

Źródło: „https://pl.wikipedia.org/wiki/Iloczyn_Eulera”