Iloczyn Eulera

Iloczyn Eulera, produkt Eulera (ang. Euler product) – sposób przedstawienia szeregu liczbowego w postaci nieskończonego iloczynu po liczbach pierwszych. W analitycznej teorii liczb jest to często wykorzystywana postać szeregu w dowodach różnych twierdzeń. Swoją nazwę bierze od Leonharda Eulera, który po raz pierwszy przedstawił go dla funkcji zeta Riemanna^[1].

Niech ${\displaystyle f}$ będzie ograniczoną multiplikatywną funkcją arytmetyczną. Wówczas szereg Dirichleta

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {f(n)}{n^{s}}}}$

jest dla wszystkich ${\displaystyle s}$ takich, że ${\displaystyle \Re (s)>1}$ równy

${\displaystyle \prod _{p}\left(1+{\frac {f(p)}{p^{s}}}+{\frac {f(p^{2})}{p^{2s}}}+\ldots \right)=\prod _{p}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {f(p^{k})}{p^{ks}}},}$

gdzie ${\textstyle \prod _{p}}$ oznacza iloczyn po wszystkich liczbach pierwszych. Ponadto, jeśli ${\displaystyle f}$ jest całkowicie multiplikatywna, to występujące w iloczynie szeregi są geometryczne, a cały iloczyn ten jest równy

${\displaystyle \prod _{p}\left(1-{\frac {f(p)}{p^{s}}}\right)^{-1}.}$

Niech ${\displaystyle \zeta }$ będzie funkcją zeta Riemanna, zdefiniowaną jako

${\displaystyle \zeta (s)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}}$

dla dowolnej liczby zespolonej ${\displaystyle s,}$ przy ${\displaystyle \Re (s)>1.}$ Wówczas^[1]

${\displaystyle \zeta (s)=\prod _{p}\left(1-{\frac {1}{p^{s}}}\right)^{-1}.}$

Z funkcją ${\displaystyle \zeta }$ związanych jest więcej iloczynów Eulera, które wykorzystywane są w dowodach twierdzeń korzystających z jej własności.

${\displaystyle {\frac {\zeta (2s)}{\zeta (s)}}=\prod _{p}\left(1+{\frac {1}{p^{s}}}\right)^{-1}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\lambda (n)}{n^{s}}},}$

gdzie ${\displaystyle \lambda }$ jest funkcją Liouville’a.

${\displaystyle \zeta (s)=\prod _{p}\left(1-{\frac {1}{p^{s}}}\right)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n^{s}}}}$

oraz

${\displaystyle {\frac {\zeta (s)}{\zeta (2s)}}=\prod _{p}\left(1+{\frac {1}{p^{s}}}\right)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {|\mu (n)|}{n^{s}}},}$

gdzie ${\displaystyle \mu }$ to funkcja Möbiusa.

Funkcja zeta jest szczególnym przypadkiem o wiele szerszej klasy funkcji L Dirichleta. Niech

${\displaystyle L(s,\chi )=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\chi (n)}{n^{s}}},}$

gdzie ${\displaystyle \chi }$ jest ustalonym charakterem Dirichleta przy danym module ${\displaystyle q,}$ a ${\displaystyle s}$ jest dowolną liczbą zespoloną z ${\displaystyle \Re (s)>1.}$ Wtedy^[2]

${\displaystyle L(s,\chi )=\prod _{p}\left(1-{\frac {\chi (p)}{p^{s}}}\right)^{-1}.}$