Maksimum ve minimum

Matematiksel analizde, bir fonksiyonun maksimum ve minimumu, sırasıyla, fonksiyonun aldığı en büyük ve en küçük değerdir. Genel olarak ekstremum^[a] (çoğul: ekstrema) olarak bilinen bu değerler, belirli bir aralık dahilinde (yerel veya göreli ekstremum) veya bir fonksiyonun tüm tanım kümesi üzerinde (küresel veya mutlak ekstremum) tanımlanabilir.^[1][2][3]

Pierre de Fermat, fonksiyonların maksimum ve minimumlarını bulmak için genel bir teknik olan yeterlilik (adequality) yöntemini öneren ilk matematikçilerden biriydi. Kümeler teorisinde tanımlandığı üzere, bir kümenin maksimum ve minimumu, sırasıyla kümedeki en büyük ve en küçük elemanlardır. Reel sayılar kümesi gibi sınırsız sonsuz kümelerin minimumu veya maksimumu yoktur.

İstatistikte, buna karşılık gelen kavram örneklem maksimumu ve minimumudur.

Bir X tanım kümesi üzerinde tanımlı reel değerli bir f fonksiyonunun, eğer X içindeki tüm x değerleri için f(x^∗) ≥ f(x) ise x^∗ noktasında bir küresel (veya mutlak) maksimum noktası vardır. Benzer şekilde, eğer X içindeki tüm x değerleri için f(x^∗) ≤ f(x) ise fonksiyonun x^∗ noktasında bir küresel (veya mutlak) minimum noktası vardır.

Fonksiyonun bir maksimum noktasındaki değerine fonksiyonun maksimum değeri denir ve ${\displaystyle \max(f(x))}$ ile gösterilir; bir minimum noktasındaki değerine ise fonksiyonun minimum değeri denir (netlik sağlamak için ${\displaystyle \min(f(x))}$ ile gösterilir). Sembolik olarak bu şu şekilde yazılabilir:

${\displaystyle x_{0}\in X}$, ${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }$ fonksiyonunun küresel maksimum noktasıdır, eğer ${\displaystyle (\forall x\in X)\,f(x_{0})\geq f(x)}$ ise.

Küresel minimum noktasının tanımı da benzer şekilde yapılır. Eğer X tanım kümesi bir metrik uzay ise, x^∗ noktasına ε mesafesindeki tüm X elemanları için f(x^∗) ≥ f(x) olacak şekilde bir ε > 0 varsa, f fonksiyonunun x^∗ noktasında bir yerel (veya göreli) maksimum noktası olduğu söylenir. Benzer şekilde, x^∗ noktasına ε mesafesindeki tüm X elemanları için f(x^∗) ≤ f(x) ise fonksiyonun x^∗ noktasında bir yerel minimum noktası vardır.

X bir topolojik uzay olduğunda da benzer bir tanım kullanılabilir, çünkü az önce verilen tanım komşuluklar cinsinden yeniden ifade edilebilir. Matematiksel olarak, verilen tanım şu şekilde yazılır:

Bir ${\displaystyle (X,d_{X})}$ metrik uzayı ve ${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }$ fonksiyonu olsun.

Eğer öyle bir ${\displaystyle (\exists \varepsilon >0)}$ varsa ki ${\displaystyle (\forall x\in X)\,d_{X}(x,x_{0})<\varepsilon \implies f(x_{0})\geq f(x)}$ olsun, o zaman ${\displaystyle x_{0}\in X}$, ${\displaystyle f}$ fonksiyonunun bir yerel maksimum noktasıdır.

Yerel minimum noktasının tanımı da benzer şekilde yapılır. Hem global hem de yerel durumlarda, kesin ekstremum (strict extremum) kavramı tanımlanabilir. Örneğin, x ≠ x^∗ olan X içindeki tüm x değerleri için f(x^∗) > f(x) ise x^∗ bir kesin küresel maksimum noktasıdır; ve eğer öyle bir ε > 0 varsa ki, x^∗ noktasına ε mesafesindeki (ve x ≠ x^∗ olan) tüm x değerleri için f(x^∗) > f(x) olsun, o zaman x^∗ bir kesin yerel maksimum noktasıdır.

Bir noktanın kesin küresel maksimum noktası olmasının, ancak ve ancak onun benzersiz küresel maksimum noktası olması durumunda geçerli olduğuna ve minimum noktaları için de benzer durumun geçerli olduğuna dikkat ediniz. Kompakt bir tanım kümesine sahip sürekli reel değerli bir fonksiyonun her zaman bir maksimum noktası ve bir minimum noktası vardır. Önemli bir örnek, tanım kümesi reel sayıların kapalı ve sınırlı bir aralığı olan bir fonksiyondur (yukarıdaki grafiğe bakınız).

Küresel maksimum ve minimumları bulmak matematiksel optimizasyonun amacıdır. Bir fonksiyon kapalı bir aralıkta sürekli ise, uç değerler teoremi gereği küresel maksimum ve minimumlar mevcuttur. Ayrıca, bir küresel maksimum (veya minimum), ya tanım kümesinin iç bölgesindeki bir yerel maksimum (veya minimum) olmalı ya da tanım kümesinin sınırında yer almalıdır. Dolayısıyla, bir küresel maksimumu (veya minimumu) bulmanın bir yöntemi, iç bölgedeki tüm yerel maksimumlara (veya minimumlara) ve ayrıca sınırdaki noktaların maksimumlarına (veya minimumlarına) bakmak ve en büyüğünü (veya en küçüğünü) almaktır.

Türevlenebilir fonksiyonlar için, Fermat teoremi, bir tanım kümesinin iç bölgesindeki yerel ekstremumların kritik noktalarda (veya türevin sıfıra eşit olduğu noktalarda) gerçekleşmesi gerektiğini belirtir.^[4] Ancak, tüm kritik noktalar ekstremum değildir. Yeterli türevlenebilirlik verildiğinde, birinci türev testi, ikinci türev testi veya yüksek mertebeden türev testi kullanılarak bir kritik noktanın yerel maksimum mu, yerel minimum mu yoksa hiçbiri mi olduğu genellikle ayırt edilebilir.^[5]

Parçalı olarak tanımlanmış herhangi bir fonksiyon için, her parçanın maksimumunu (veya minimumunu) ayrı ayrı bularak ve ardından hangisinin en büyük (veya en küçük) olduğuna bakılarak bir maksimum (veya minimum) bulunur.

Fonksiyon	Maksimumlar ve minimumlar
x2	x = 0'da yegane küresel minimum.
x3	Küresel minimum veya maksimum yok. Birinci türev (3x2), x = 0'da 0 olmasına rağmen, bu bir bükülme noktasıdır (inflection point). (Bu noktada 2. türev 0'dır.)
${\displaystyle {\sqrt[{x}]{x}}}$	x = e'de yegane küresel maksimum. (Sağdaki şekle bakınız)
x−x	Pozitif reel sayılar üzerinde x = 1/e'de yegane küresel maksimum.
x3/3 − x	Birinci türev x2 − 1 ve ikinci türev 2x. Birinci türevi 0'a eşitleyip x için çözüm yapıldığında −1 ve +1'de durgunluk noktaları elde edilir. İkinci türevin işaretinden, −1'in yerel maksimum ve +1'in yerel minimum olduğu görülebilir. Bu fonksiyonun küresel maksimumu veya minimumu yoktur.
|x|	x = 0'da türev mevcut olmadığından türev alınarak bulunamayan, x = 0'da küresel minimum.
cos(x)	0, ±2π, ±4π, ... noktalarında sonsuz sayıda global maksimum ve ±π, ±3π, ±5π, ... noktalarında sonsuz sayıda global minimum.
2 cos(x) − x	Sonsuz sayıda yerel maksimum ve minimum, ancak küresel maksimum veya minimum yoktur.
0.1 ≤ x ≤ 1.1 aralığında cos(3πx)/x	x = 0.1'de (bir sınır) küresel maksimum, x = 0.3 civarında küresel minimum, x = 0.6 civarında yerel maksimum ve x = 1.0 civarında yerel minimum. (Sayfanın üst kısmındaki şekle bakınız.)
Kapalı aralık (segment) [−4,2] üzerinde tanımlı x3 + 3x2 − 2x + 1	x = −1−√15/3'te yerel maksimum, x = −1+√15/3'te yerel minimum, x = 2'de küresel maksimum ve x = −4'te küresel minimum.

Pratik bir örnek için,^[6] birinin ${\displaystyle 200}$ fit (yaklaşık 61 metre) çite sahip olduğunu ve dikdörtgen bir çevrili alanın metrekaresini maksimize etmeye çalıştığını varsayalım; burada ${\displaystyle x}$ uzunluk, ${\displaystyle y}$ genişlik ve ${\displaystyle xy}$ alandır:

${\displaystyle 2x+2y=200}$

${\displaystyle 2y=200-2x}$

${\displaystyle {\frac {2y}{2}}={\frac {200-2x}{2}}}$

${\displaystyle y=100-x}$

${\displaystyle xy=x(100-x)}$

${\displaystyle x}$'e göre türev şöyledir:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}xy&={\frac {d}{dx}}x(100-x)\\&={\frac {d}{dx}}\left(100x-x^{2}\right)\\&=100-2x\end{aligned}}}$

Bunu ${\displaystyle 0}$'a eşitlemek:

${\displaystyle 0=100-2x}$

${\displaystyle 2x=100}$

${\displaystyle x=50}$

${\displaystyle x=50}$'nin tek kritik noktamız olduğunu ortaya çıkarır. Şimdi ${\displaystyle x}$'in sınırlandığı aralığı belirleyerek uç noktaları bulun. Genişlik pozitif olduğundan ${\displaystyle x>0}$'dır ve ${\displaystyle x=100-y}$ olduğundan, bu ${\displaystyle x<100}$ olduğu anlamına gelir. Kritik nokta ${\displaystyle 50}$'yi ve uç noktalar ${\displaystyle 0}$ ile ${\displaystyle 100}$'ü ${\displaystyle xy=x(100-x)}$ içine yerleştirin; sonuçlar sırasıyla ${\displaystyle 2500,0,}$ ve ${\displaystyle 0}$'dır. Bu nedenle, ${\displaystyle 200}$ fit çit ile elde edilebilecek en büyük alan dikdörtgeni ${\displaystyle 50\times 50=2500}$ birimkaredir.^[6]

Birden fazla değişkenli fonksiyonlar için de benzer koşullar geçerlidir. Örneğin, sağdaki (büyütülebilir) şekilde, bir yerel maksimum için gerekli koşullar, tek değişkenli bir fonksiyonunkine benzerdir. z (maksimize edilecek değişken) cinsinden birinci kısmi türevler maksimumda (şeklin tepesindeki parlayan nokta) sıfırdır. İkinci kısmi türevler negatiftir. Bunlar yerel maksimum için yalnızca gerekli koşullardır, yeterli değildir; çünkü bir eyer noktası olasılığı vardır. Bu koşulların maksimumu çözmek için kullanılabilmesi için, z fonksiyonunun aynı zamanda her yerde türevlenebilir olması gerekir.

İkinci kısmi türev testi, noktanın göreli maksimum mu yoksa göreli minimum mu olduğunun sınıflandırılmasına yardımcı olabilir. Buna karşılık, küresel ekstremumların belirlenmesinde tek değişkenli fonksiyonlar ile birden fazla değişkenli fonksiyonlar arasında önemli farklılıklar vardır.

Örneğin, reel sayı doğrusundaki kapalı bir aralıkta tanımlı, sınırlı ve türevlenebilir bir f fonksiyonunun yerel minimum olan tek bir kritik noktası varsa, bu aynı zamanda bir küresel minimumdur (bunu olmayana ergi yöntemiyle kanıtlamak için ara değer teoremi ve Rolle teoremini kullanın). İki ve daha fazla boyutta bu argüman geçersizdir. Bu durum şu fonksiyonla gösterilebilir:

${\displaystyle f(x,y)=x^{2}+y^{2}(1-x)^{3},\qquad x,y\in \mathbb {R} ,}$

bu fonksiyonun tek kritik noktası (0,0)'dadır ve bu nokta f(0,0) = 0 ile bir yerel minimumdur. Ancak, bu bir küresel minimum olamaz, çünkü f(2,3) = −5'tir.

Eğer bir ekstremumun bulunacağı fonksiyonun tanım kümesi fonksiyonlardan oluşuyorsa (yani bir fonksiyonelin ekstremumu bulunacaksa), ekstremum varyasyonlar hesabı (calculus of variations) kullanılarak bulunur.

Maksimum ve minimum kümeler için de tanımlanabilir. Genel olarak, eğer bir S sıralı kümesinin bir m en büyük elemanı varsa, m kümenin bir maksimal elemanıdır ve ${\displaystyle \max(S)}$ olarak da gösterilir. Ayrıca, S, bir T sıralı kümesinin alt kümesi ise ve m, S kümesinin (T tarafından sağlanan sıralamaya göre) en büyük elemanı ise, o zaman m, S kümesinin T içindeki en küçük üst sınırıdır. Benzer sonuçlar en küçük eleman, minimal eleman ve en büyük alt sınır için de geçerlidir. Kümeler için maksimum ve minimum fonksiyonu veritabanlarında kullanılır ve bir bölümlemenin maksimumlarından kümenin maksimumu (veya minimumu) hesaplanabildiği için hızlı bir şekilde hesaplanabilir; resmi olarak, bunlar kendi kendine ayrıştırılabilir toplama fonksiyonlarıdır.

Genel bir kısmi sıralama durumunda, bir en küçük eleman (yani diğerlerinden küçük olan eleman), minimal eleman (kendisinden küçüğü olmayan eleman) ile karıştırılmamalıdır. Benzer şekilde, bir kısmi sıralı kümenin (poset) en büyük elemanı, kümenin içinde yer alan ve kümenin bir üst sınırı olan elemandır; oysa bir A posetinin maksimal elemanı m, eğer m ≤ b ise (A içindeki herhangi bir b için), o zaman m = b olan bir A elemanıdır.

Bir posetin herhangi bir en küçük elemanı veya en büyük elemanı benzersizdir, ancak bir posetin birden fazla minimal veya maksimal elemanı olabilir. Eğer bir posetin birden fazla maksimal elemanı varsa, bu elemanlar karşılıklı olarak karşılaştırılabilir olmayacaktır.

Bir tam sıralı kümede veya zincirde, tüm elemanlar karşılıklı olarak karşılaştırılabilirdir, bu nedenle böyle bir kümenin en fazla bir minimal elemanı ve en fazla bir maksimal elemanı olabilir. O zaman, karşılıklı karşılaştırılabilirlik nedeniyle, minimal eleman aynı zamanda en küçük eleman, maksimal eleman da aynı zamanda en büyük eleman olacaktır. Bu nedenle tam sıralı bir kümede, basitçe minimum ve maksimum terimlerini kullanabiliriz.

Eğer bir zincir sonlu ise, her zaman bir maksimumu ve bir minimumu olacaktır. Eğer bir zincir sonsuz ise, bir maksimumu veya minimumu olması gerekmez. Örneğin, doğal sayılar kümesinin bir maksimumu yoktur, ancak bir minimumu vardır. Eğer sonsuz bir S zinciri sınırlı ise, kümenin kapanışı (closure) Cl(S) bazen bir minimuma ve bir maksimuma sahip olur; bu durumda bunlara sırasıyla S kümesinin en büyük alt sınırı ve en küçük üst sınırı denir.

Bu bölüm maddesinden bir pasajdır Arg maks.[değiştir]

Matematikte, maksimumun argümanları (kısaca arg maks (arg max) veya argmaks (argmax)) ve minimumun argümanları (kısaca arg min veya argmin), bir fonksiyonun çıktı değerinin sırasıyla maksimize ve minimize edildiği girdi noktalarıdır.^[8] Argümanlar fonksiyonun tanım kümesi üzerinde tanımlanırken, çıktı fonksiyonun değer kümesinin bir parçasıdır.

• Mekanik denge

Wikimedia Commons'ta Maksimum ve minimum ile ilgili ortam dosyaları mevcuttur.

Vikisözlük'te maksimum, minimum, veya ekstremum ile ilgili tanım bulabilirsiniz.

• Thomas Simpson'ın Maksimum ve Minimum üzerine çalışmaları - Convergence (İngilizce)
• Maksimum ve Minimum Uygulamaları ve çözümlü problem alt sayfaları (İngilizce)
•  Jolliffe, Arthur Ernest (1911). "Maxima and Minima". Encyclopædia Britannica. 17 (11. bas.). ss. 918-920.