std::acosh(std::complex)

複素数の値 z の複素双曲線余弦を計算します。 分岐切断は実軸に沿った 1 より小さい値に置かれます。

[編集] 引数

[編集] 戻り値

エラーが発生しなければ、 z の複素逆双曲線余弦が返されます。 戻り値は実部が非負の値で虚部が区間 [−iπ; +iπ] 内の半帯状の範囲内です。

[編集] エラー処理および特殊な値

エラーは math_errhandling と一貫性があるように報告されます。

処理系が IEEE 浮動小数点算術をサポートしている場合、

• std::acosh(std::conj(z)) == std::conj(std::acosh(z)) です。
• z が (±0,+0) であれば、結果は (+0,π/2) です。
• z が (x,+∞) (ただし x は任意の有限な値) であれば、結果は (+∞,π/2) です。
• z が (x,NaN) (ただし x は任意の^[1]有限な値) であれば、結果は (NaN,NaN) であり、 FE_INVALID が発生するかもしれません。
• z が (-∞,y) (ただし x は任意の有限な正の値) であれば、結果は (+∞,π) です。
• z が (+∞,y) (ただし y は任意の有限な正の値) であれば、結果は (+∞,+0) です。
• z が (-∞,+∞) であれば、結果は (+∞,3π/4) です。
• z が (±∞,NaN) であれば、結果は (+∞,NaN) です。
• z が (NaN,y) (ただし y は任意の有限な値) であれば、結果は (NaN,NaN) であり、 FE_INVALID が発生するかもしれません。
• z が (NaN,+∞) であれば、結果は (+∞,NaN) です。
• z が (NaN,NaN) であれば、結果は (NaN,NaN) です。

1. ↑ C11 DR471 によれば、これは非ゼロの x に対してのみ適用されます。 z が (0,NaN) の場合、結果は (NaN,π/2) であるべきです。

[編集] ノート

C++ 標準はこの関数に「complex arc hyperbolic cosine」と名付けていますが、双曲線関数の逆関数は面積関数です。 引数は双曲的扇形の面積であり、円弧 (arc) ではありません。 正しい名前は「complex inverse hyperbolic cosine」、あるいは、あまり一般的ではありませんが、「complex area hyperbolic cosine」です。

逆双曲線余弦は多値関数であり、複素平面上の分岐切断が要求されます。 分岐切断は慣習的に実軸上の線分 (-∞,+1) に置かれます。

逆双曲線余弦の主値の数学的な定義は acosh z = ln(z + √z+1 √z-1) です。

[編集] 例

#include <iostream>
#include <complex>
 
int main()
{
    std::cout << std::fixed;
    std::complex<double> z1(0.5, 0);
    std::cout << "acosh" << z1 << " = " << std::acosh(z1) << '\n';
 
    std::complex<double> z2(0.5, -0.0);
    std::cout << "acosh" << z2 << " (the other side of the cut) = "
              << std::acosh(z2) << '\n';
 
    // 上半平面では acosh = i acos 
    std::complex<double> z3(1, 1), i(0, 1);
    std::cout << "acosh" << z3 << " = " << std::acosh(z3) << '\n'
              << "i*acos" << z3 << " = " << i*std::acos(z3) << '\n';
}

acosh(0.500000,0.000000) = (0.000000,-1.047198)
acosh(0.500000,-0.000000) (the other side of the cut) = (0.000000,1.047198)
acosh(1.000000,1.000000) = (1.061275,0.904557)
i*acos(1.000000,1.000000) = (1.061275,0.904557)

[編集] 関連項目